说一说0和无穷小，0是无穷小的极限常数，也是最高阶的无穷小
乐理知识
老贾/吉他福 发布时间：2025/8/4 12:29:55 阅读次数：
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此主题内容最后修改日期：2025 - 08 - 04 12:38:00
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高数里面说，说0是唯一的无穷小变量极限的常数，即无穷小极限常数是0。就是说0和e、Pi等无理数一样，是一个看起来没有道理的常数。
既然0是常数，而且是无穷小的极限，就是说0就是实实在在的无穷小，当然你可以认为0是最高阶的无穷小，但无论如何0的确是无穷小，那么0就当然可以作为除数参与运算，因为无穷小是可以作为除数的。既然如此，又为什么仍然规定0不能做除数呢？
原因并不是0就不能做除数，而是说禁止0做除数。就好比说，法律禁止你犯罪行为，但并不是说你没有犯罪的能力，“0不能做除数”这句中的“不能”是禁止的意思，而不是没有能力的意思。再重复两遍：是禁止，不是不能，是禁止，不是不能！
当非0的数自身相除时，就是x/x=1，这个基本的运算法则必须遵守。可是0/0的结果竟然是0，这不但违反了前面的基本运算法则，而且也违反了0作为无穷小的初衷。因为0若是无穷小，那就应该0/0=1才对，可是如果0/0=1的话，则又违反了0/x=0的法则。可见无论如何都是矛盾的。
就像罗素集合悖论一样，由0产生的悖论也是一种无穷悖论。既然是悖论就应该剔除掉，所以就用了最简单却非常有效的方法，就是来一条硬性的规定，说“0不可以做除数”。
数学极限理论中的0
0并不是“什么都没有”，而是它可以传达了“什么都没有”这个信息。
足球比赛0比0
0就仅仅是个符号，本质是传递一个信息，在计算机里就叫做“比特”，存在硬盘里就要占用一个小小的空间，在网络里传送就占用一个小小的带宽。
IP地址中的0
以下内容采集整理自网络，仅供参考
无穷小的定义是“无限逼近于0但永远大于0”。无穷小是一个实数而非虚数。然而在实数轴X轴上，却根本找不到一个实数点来对应“无穷小”。
实际上，“无穷小”在量子力学中是对应中微子i的质量为无穷小，而π与i在欧拉公式中有密切关系——数学大神欧拉创造的“上帝公式”是e^（πi）=-1，所以，将标准的“无穷小”对应w=无穷小=（1/π2?）是恰当的（这里n为自然数且n=∞）。
0不是无穷小，0是一个实常数，而无穷小是指无限趋近于0的一个变量。无穷小在极限的计算过程中有时可以直接替换成0，有时则不可以，可以用0直接替换的情况：
1.无穷小只参与加减运算，
2.无穷小参与了乘法运算，但所乘的代数式有界，且没有参与加减乘以外的运算，
3.其他不使代数式失去意义，且不与无穷大发生加减除以外运算的情况。
不能用0直接替换的情况：
1.无穷小参与了乘法运算，所乘代数式为无穷大，
2.无穷小参与了除法运算，除数为无穷小，
3.其他导致代数式分母等位置出现0而使其失去意义的情况。
总之来说：
1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。
2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。
3、无穷小量与自变量的趋势相关。
4、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。
5、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
6、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。
7、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。
8、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。
那么0与无穷小的关系似乎可以这样认为：
1：0是一个点，而无穷小是一个过程。
2：0是无穷小这个过程的目的地，但无穷小永远大于0。
3：因为无穷小无法用任何一个大于0的数字表示，而0又是无穷小的目的地，所以可以用0代表无穷小这个过程的终结，但无穷小不是0。
意思是说无穷小不是0，无穷小的极限是0，但无穷小又永远达不到极限0。
奇怪的但很有趣的除法问题：
说你身上带着个空钱包去乘坐公交车，即此时你的钱包里钱的数量是0元，但是公交车的票价也是0元，那现在问题是：问你乘坐几次公交车就会花光你钱包里的钱？
答：0元/0元=0次
即公交车你还一次都没乘坐，而你的钱包里的钱就已经花光了，所以0/0=0。
上面的问题非常有道理，逻辑无懈可击，实际经验来看0/0的确等于0，而不等于1。
之所以0/0成为各种矛盾的悖论，仅仅是因为各种极限问题导致的。但不管怎么样，在公理化数学体系里，要求运算规则能够自洽满足完备的集合映射关系，所以就规定了0不能做除数。
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既然0是常数，而且是无穷小的极限，就是说0就是实实在在的无穷小，当然你可以认为0是最高阶的无穷小，但无论如何0的确是无穷小，那么0就当然可以作为除数参与运算，因为无穷小是可以作为除数的。既然如此，又为什么仍然规定0不能做除数呢？
原因并不是0就不能做除数，而是说禁止0做除数。就好比说，法律禁止你犯罪行为，但并不是说你没有犯罪的能力，“0不能做除数”这句中的“不能”是禁止的意思，而不是没有能力的意思。再重复两遍：是禁止，不是不能，是禁止，不是不能！
当非0的数自身相除时，就是x/x=1，这个基本的运算法则必须遵守。可是0/0的结果竟然是0，这不但违反了前面的基本运算法则，而且也违反了0作为无穷小的初衷。因为0若是无穷小，那就应该0/0=1才对，可是如果0/0=1的话，则又违反了0/x=0的法则。可见无论如何都是矛盾的。
就像罗素集合悖论一样，由0产生的悖论也是一种无穷悖论。既然是悖论就应该剔除掉，所以就用了最简单却非常有效的方法，就是来一条硬性的规定，说“0不可以做除数”。
数学极限理论中的0
0并不是“什么都没有”，而是它可以传达了“什么都没有”这个信息。
足球比赛0比0
0就仅仅是个符号，本质是传递一个信息，在计算机里就叫做“比特”，存在硬盘里就要占用一个小小的空间，在网络里传送就占用一个小小的带宽。
IP地址中的0
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无穷小的定义是“无限逼近于0但永远大于0”。无穷小是一个实数而非虚数。然而在实数轴X轴上，却根本找不到一个实数点来对应“无穷小”。
实际上，“无穷小”在量子力学中是对应中微子i的质量为无穷小，而π与i在欧拉公式中有密切关系——数学大神欧拉创造的“上帝公式”是e^（πi）=-1，所以，将标准的“无穷小”对应w=无穷小=（1/π2?）是恰当的（这里n为自然数且n=∞）。
0不是无穷小，0是一个实常数，而无穷小是指无限趋近于0的一个变量。无穷小在极限的计算过程中有时可以直接替换成0，有时则不可以，可以用0直接替换的情况：
1.无穷小只参与加减运算，
2.无穷小参与了乘法运算，但所乘的代数式有界，且没有参与加减乘以外的运算，
3.其他不使代数式失去意义，且不与无穷大发生加减除以外运算的情况。
不能用0直接替换的情况：
1.无穷小参与了乘法运算，所乘代数式为无穷大，
2.无穷小参与了除法运算，除数为无穷小，
3.其他导致代数式分母等位置出现0而使其失去意义的情况。
总之来说：
1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。
2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。
3、无穷小量与自变量的趋势相关。
4、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。
5、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
6、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。
7、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。
8、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。
那么0与无穷小的关系似乎可以这样认为：
1：0是一个点，而无穷小是一个过程。
2：0是无穷小这个过程的目的地，但无穷小永远大于0。
3：因为无穷小无法用任何一个大于0的数字表示，而0又是无穷小的目的地，所以可以用0代表无穷小这个过程的终结，但无穷小不是0。
意思是说无穷小不是0，无穷小的极限是0，但无穷小又永远达不到极限0。
奇怪的但很有趣的除法问题：
说你身上带着个空钱包去乘坐公交车，即此时你的钱包里钱的数量是0元，但是公交车的票价也是0元，那现在问题是：问你乘坐几次公交车就会花光你钱包里的钱？
答：0元/0元=0次
即公交车你还一次都没乘坐，而你的钱包里的钱就已经花光了，所以0/0=0。
上面的问题非常有道理，逻辑无懈可击，实际经验来看0/0的确等于0，而不等于1。
之所以0/0成为各种矛盾的悖论，仅仅是因为各种极限问题导致的。但不管怎么样，在公理化数学体系里，要求运算规则能够自洽满足完备的集合映射关系，所以就规定了0不能做除数。
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